Kumudha krishnan Division by bigger numbers using complements
In the last few weeks we have seen diferent methods of division using
complements. We have been through the methods used to divide by 9, 8, 7.
Similar principles can be used to divide by numbers like 99, 98, 97
etc.
Let us start with 1534 / 99
The divisor is 99. So the base is 100. The complement of 99 is 01. And
the number of digits that we have to set aside for the remainder will
be 2.
We write the numbers as follows:
99 1 5 3 4
01
Bring 1 down and multiply it by the complement. Write the answer below
the next two digits. Remember the complement is 01 and the so the
product is 01 and is written below the next two digits 5 and 3.
99 1 5 3 4
01 0 1
1
Now we have to add 5 + 0 and 3 + 1 and write the answers below.
99 1 5 3 4
01 0 1
1 5 4
Multiply 5 by the complement and write the answer below the next two
digits
99 1 5 3 4
01 0 1
0 5
1 5
Add the digits
vertically and you get 4 and 9 in the remainder column. Since we have
got numbers below all the digits of the given number we stop our
calculations here.
99 1 5 3 4
01 0 1
0 5
1 5 4 9
Answer: The quotient 15 and the remainder 49
Let us try a number with more digits,
349714/ 99
The base is 100, the complement is 01 and the number of digits for the
remainder is 2.
99 3 4 9 7 1 4
01
Bring the 3 down. Then multiply it by 01 and write the answer below
the next two digits. Add the second set of numbers vertically.
99 3 4 9 7 1 4
01 0 3
3 4
Multiply 4 by the complement and write the answer below the next two
digits. Add the next set of digits vertically (9+3+0).
99 3 4 9 7 1 4
01 0 3
0 4
3 4 12
Multiply 12 by the complement and put the answer below 7 and 1. Add
the next set of digits vertically (7+4+1)
99 3 4 9 7 1 4
01 0 3
0 4
1 2
3 4 12 12
Multiply 12 by the complement and put the answer below the last two
digits. Add vertically.
99 3 4 9 7 1 4
01 0 3
0 4
1 2
1 2
3 4 12 12 4 6
Finally we carry over the tens digits in the two 12s to the previous
digit to get the final answer.
3 4 12 12 4 6
3 5 3 2 4 6
Answer: The quotient is 3532 and the remainder is 46
Showing posts with label Maths. Show all posts
Showing posts with label Maths. Show all posts
హ్యూమన్ కంప్యూటర్ శకుంతలాదేవికి గూగుల్ నివాళి
హ్యూమన్ కంప్యూటర్‌గా పేరుపొందిన ప్రముఖ గణిత మేధావి శకుంతలా దేవి 84వ
జయంతి సందర్భంగా ప్రముఖ సెర్చ్ ఇంజన్ గూగుల్ ఆమెకు ఘనంగా నివాళులు
అర్పించింది. సెర్చ్ పేజీలో ఆమె బొమ్మతో కూడిన ప్రత్యేక డూడుల్‌ను ఉంచింది.
డిజిటల్ అంకెల రూపంలో గూగుల్ అక్షరాలను రూపొందించి, వాటి పక్కన శకుంతలా
దేవి బొమ్మ, ఎస్ డి అనే అక్షరాలతో డూడుల్‌ను తయారు చేసింది. ఆమె
నవ్వుతున్నట్లుగా ఉన్న చిత్రాన్ని ఉంచింది. శకుంతలా దేవిని అందరూ హ్యూమన్
కంప్యూటర్ అంటారు. ఆమె లెక్కల్లో ఎన్నోసార్లు కంప్యూటర్ కంటే ఫాస్ట్‌గా
చేశారు.
కాగా, హ్యూమన్ కంప్యూటర్‌గా పేరొందిన శకుంతలా దేవి 21 ఏప్రిల్ 213న
కన్నుమూశారు. కొన్నాళ్లుగా శ్వాసకోశ సంబంధ సమస్యలతో ఇబ్బంది పడుతున్న
శకుంతలా దేవి చికిత్స కోసం ఓ ఆసుపత్రిలో చేరారు. గుండెపోటు రావడంతో మృతి
చెందారు. ఏప్రిల్ 21న ఉదయం 8:15 గంటలకు ఆమె తుదిశ్వాస విడిచారని
ఎడ్యుకేషనల్ ఫౌండేషన్ పబ్లిక్ ట్రస్ట్ ట్రస్టీ డిసి శివదేవ్ తెలిపారు.
శకుంతలాదేవికి ఒక కుమార్తె ఉన్నారు.
ఆమె 1929 నవంబర్ 4న సంప్రదాయ కన్నడ బ్రాహ్మణ కుటుంబంలో బెంగళూరులో
జన్మించారు. ఆమె తండ్రి సర్కస్‌లో పని చేసేవారు. మూడేళ్ల వయసులోనే పేకలతో
ట్రిక్కులు చేయడంలో శకుంతల ప్రతిభను ఆయన గుర్తించారు. ఎంత ప్రతిభ ఉన్నా..
పేదరికం కారణంగా ఆమె చదువుకోలేకపోయారు. తల్లిదండ్రులు ఆమెను ఒకటో తరగతిలో
చేర్చినప్పటికీ.. నెలకు రూ.2 ఫీజు కట్టలేక మధ్యలోనే బడి మాన్పించేశారు.
అయితే, ఆమె ప్రతిభ గురించి అన్ని దిక్కులా వ్యాపించింది. ఆరేళ్లప్పుడు
యూనివర్సిటీ ఆఫ్ మైసూర్‌లో, ఎనిమిదేళ్ల వయసులో అన్నామలై వర్సిటీలో..
గణితంలో తనకున్న ప్రావీణ్యాన్ని ఆమె బహిరంగంగా ప్రదర్శించారు. 1977లో 201
అంకెలున్న సంఖ్యకు 23వ వర్గాన్ని ఆమె తన మనసులోనే గుణించి 50 సెకన్లలో
సమాధానం చెప్పి ప్రపంచం దృష్టిని ఆకర్షించారు.
ఆమె చెప్పిన సమాధానాన్ని ద్రువీకరించుకోవడానికి శాస్త్రజ్ఞులు ఆ అంకెను
వేగవంతమైన యూనివాక్ 1108 కంప్యూటర్‌కు ఫీడ్ చేయగా.. ఇదే సమస్యను
పరిష్కరించడానికి దానికి ఒక నిమిషంపైగానే సమయం పట్టింది. అలాగే, 1980 జూన్
18న.. ఇంపీరియల్ కాలేజ్, లండన్ కంప్యూటర్ విభాగం వారు ఆమెకు ఒక పరీక్ష
పెట్టారు. కంప్యూటర్ అప్పటికప్పుడు ఇచ్చిన రెండు పదమూడు అంకెల సంఖ్యలను
గుణించి ఫలితం చెప్పమన్నారు.
ఆ ప్రశ్నకు ఆమె సరిగ్గా 28 సెకన్లలో సమాధానం చెప్పి వారిని ఆశ్చర్యానికి
గురిచేశారు. గత శతాబ్దిలో ఏ ఏడాదిలో ఏ నెలలో ఏ తేదీన ఏ వారం వచ్చిందో..
నిద్రలో లేపి అడిగినా ఠక్కున చెప్పే మేధస్సు ఆమె సొంతం. అంతేకాదు, ఆమె
రచయిత్రి కూడా. గణితం, జ్యోతిషాలను అంశాలుగా తీసుకుని.. ఫన్ విత్ నంబర్స్,
ఆస్ట్రాలజీ ఫర్ యు, పజిల్స్ టు పజిల్ యు, మాథబ్లిట్, ఎవేకెన్ ద జీనియస్ ఇన్
యువర్ చైల్డ్, ఇన్ ద వండర్‌లాండ్ ఆఫ్ నంబర్స్ వంటి పుస్తకాలు రాశారు.
అత్యుత్తమ, నాణ్యమైన వార్తలను అందిస్తున్న వన్ఇండియా... ఇప్పుడు మీకోసం
ఫేస్‌బుక్, ట్విట్టర్‌ ల ద్వారా మరిన్ని అప్‌డేట్స్
IIT RAMAIAH'S CLASS ROOM
సమీకరణాల విశ్లేషణ ద్వారా సమస్యా సాధన !
సమీకరణాల సాధనలో 'డైఫంటైన్' సూచించిన అంశాలను ఆధారంగా చేసుకొని చిన్నచిన్న
సమీకరణాలే కాదు, పెద్దపెద్ద సమీకరణాలను కూడా సాధించవచ్చు. మొదట పైపైన
గమనిస్తే, సాధన కనుక్కోవటం దాదాపుగా అసాధ్యంగా కనిపించే సమీకరణాలు, కాస్త
విశ్లేషణాత్మకంగా చూసినపుడు సులభంగా సాధించవచ్చు. అలాంటి ఉదాహరణ ఒకటి
చూడండి.
ప్ర : (x2+1) (y2+1)+2(x-y) (1-xy)=4 (1+xy) సమీకరణాన్ని సాధించండి. (x,y
లు పూర్ణ సంఖ్యలు)
జ :x,y లు అనేవి పూర్ణ సంఖ్యలుగా ఇచ్చారు. ఈ ఒక్క అంశం ఆధారంగా చేసుకొని
సమీకరణ సాధనకు అవసరమయిన మార్గాన్ని తయారు చేసుకోవచ్చు. అదేలాగంటే పూర్ణ
సంఖ్యను దేనిని తీసుకున్నప్పటికీ దానిని రెండు కారణాంకాల లబ్ధంగా రాయవచ్చు.
ఉదాహరణకు 6 అనే సంఖ్యను తీసుకుంటే దానిని క్రింది విధంగా రాయవచ్చు.
6=3x2
=-3x-2
=6x1
=-6x-1
ఇలా 6ను రెండు సంఖ్యల లబ్ధంగా 4 రకాలుగా రాయవచ్చు. ఇపుడు ఇవ్వబడిన
సమీకరణాన్ని గమనిద్దాం.
(x2+1) (y2+1) +2 (x-y) (1-xy) = 4 (1+xy)
దీనిని కారణాంకాల లబ్ధంగా రాయటానికి వీలుగా ఉండేలా మొదట మార్పు చేయాలి.
క్రింది విధంగా మార్చి రాయటం వల్ల అది వీలవుతుంది.
x2+y2+x2
x y2+1+ 2(x-y) (1-xy)= 4+4xy
x2+y2+x2 x y2+1+2 (x-y) (1-xy)-4xy=4
ఇపుడు కుడివైపున 4 అనే పూర్ణ సంఖ్య ఉంది. దీనిని రెండు సంఖ్యల లబ్ధంగా
రాయవచ్చు. అంటే ఎడమ వైపున కూడా అలాగే రాయటానికి ప్రయత్నించాలి. అది క్రింది
విధంగా చేయవచ్చు.
x2+y2+x2y2+1+ 2(x-y) (1-xy)-2xy-2xy-4 దీని నుంచి (x-y)2 మరియు (1-xy)2
స్వరూపాన్ని పొందవచ్చు.
ఎందుకంటే (x-y)2= x2+y2-2xy
(1-xy)2= 1+x2y2 - 2xy అవుతుంది.
అందుచే x2+y2-2xy+1+x2y2=2xy+2(x-y) (1-xy)=4 అని రాయవచ్చు. అపుడది (x-y)2+
(1-xy)2+2 (x-y) (1-xy)=4 అవుతుంది.
దీని నుంచి [(x-y)+ (1-xy)]2 =4 అని రాయవచ్చు.
x-y, 1-xy లను వేర్వేరు పదాలుగా తీసుకోవచ్చు. అంటే (x-y)+(1-xy) ని కూడా
రెండు కారణాంకాల లబ్ధంగా రాయవచ్చు.
ఇది (1+x) (1-y) కి సమానమవుతుంది.
అంటే సమీకరణం క్రింది విధంగా మారిపోతుంది.
[(1+x) (1-y)]2=4, అంటే [(1+x) (1-y)]=+2 అవుతుంది. దీని నుంచి (1+x)
(1-y)=2 మరియు (1+x) (1-y)=-2 గా రాయవచ్చు. ప్రతీ సందర్భంలోనూ 2 ను రెండు
రకాలుగా కారణాంకాలుగా విభజించవచ్చు. అనగా (1+x) (1-y)=2x1 లేదా (1+x)
(1-y)=2x-1 అని రాయవచ్చు. అంటే 1+x=2 మరియు 1-y=1 నుంచి x=1,y=0 గా సాధన
వస్తుంది. అలాగాక (1+x) (1-y)=1x2 గా తీసుకున్నపుడు 1+x=1 మరియు 1-y=2 వల్ల
x=0,y=-1 గా సాధన వస్తుంది. అంటే ఈ సందర్భంలో రెండు సందర్భాలలో రెండు
రకాలుగా సాధనలు వస్తాయి.
(x,y) = (1,0) లేదా (0,-1) లు సాధనలు అవుతాయి.
అదే విధంగా +2ను 2x1 లేదా -2x-1 అని గానీ రాయవచ్చు.
ఈ సందర్భంలోనూ పైన చెప్పినట్లుగా సాధన కనుక్కోవచ్చు.
(1+x) (1-y)= -2x-1, దీని నుంచి 1+x=-2, 1-y=-1 అని రాయవచ్చు. అంటే x=-3,
y=2 అవుతుంది. అదే విధంగా (1+x) (1-y)= -1x-2గా రాసినపుడు 1+x=-1 మరియు
1-y=-2 అని రాయవచ్చు. అపుడు x=-2,y=3 అవుతుంది. అంటే ఈ సందర్భంలోనూ రెండు
సాధనలుంటాయని అర్థం. అంటే (x,y)= (-3,2) లేదా (-2,3) అవుతుంది.
అదే విధంగా -2 ను తీసుకున్నప్పుడు 2x-1 లేదా -2x1 గా దానిని రెండు
కారణాంకాలుగా విడదీసి రాయవచ్చు. ఇలా ఒకే సమీకరణం ఒకటి కంటే ఎక్కువ
చరరాసులతో ఉండటమే గాక, ఒకటి కంటే ఎక్కువ సాధనలు కూడా కలిగి ఉండటాన్ని
గమనించవచ్చు.
- వ్యాసకర్త : గణిత శాస్త్ర నిపుణులు
Inter Study Material
1. Find the equation of the straight line passing through the points (at12, 2at1) and ( at22, 2at2).
2. Find the value of y, if the line passing through the points (3,y),and (2,7) is parallel to the line joining the points (-1,4) and (0,6).
3. If the area of the triangle formed by the straight line x=0, y=0 and 3x+4y = a (a>0) is 6 , find the value of ‘a’.
4. Transform the equation x+y+1= 0 into normal form.
5. Find the distance between the parallel straight lines 3x+4y-3=0 and 6x+8y-1=0
6. Find the image of the point (1,1) is the straight line 3x+4y-1=0.
More Questions:
Inter Study Material
Subscribe to:
Posts (Atom)